Произвольное криволинейное движение. Прямолинейное и криволинейное движение

Скорость и ускорение при криволинейном движении — Студопедия

Произвольное криволинейное движение. Прямолинейное и криволинейное движение

Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории.

Положение движущейся точки на траектории задается радиус-вектором r, проведенным в эту точку из какой-либо неподвижной точки О, например, начала координат (рис. 1.2).

Пусть в момент времени t материальная точка находится в положении М с радиус-вектором r = r(t).

Спустя короткое время Dt, она переместится в положение М1 с радиусом – вектором r1 = r(t+Dt). Радиус – вектор материальной точки получит приращение, определяемое геометрической разностью Dr = r1 – r. Средней скоростью движения за время Dt называется величина

. (1.8)

Направление средней скорости Vср совпадает с направлением вектора Dr.

Рис. 1.2

Предел средней скорости при Dt ® 0, т. е. производная радиуса – вектора r по времени

(1.9)

называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки. Вектор V направлен по касательной к траектории движущейся точки.

Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости V или второй производной радиуса – вектора r по времени:

(1.10)

(1.11)

Отметим следующую формальную аналогию между скоростью и ускорением. Из произвольной неподвижной точки О1 будем откладывать вектор скорости V движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Конец вектора V называется скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая годографом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствующая ей скоростная точка движется по годографу.

Рис. 1.2 отличается от рис. 1.3 только обозначениями.

Радиус – вектор r заменен на вектор скорости V, материальная точка – на скоростную точку, траектория – на годограф.

Математические операции над вектором r при нахождении скорости и над вектором V при нахождении ускорения совершенно тождественны.

Скорость V направлена по касательной траектории. Поэтому ускорение a будет направлено по касательной к годографу скорости.

Можно сказать, что ускорение есть скорость движения скоростной точки по годографу.

Следовательно, все соотношения и теоремы, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в них произвести замену величин и терменов согласно следующей таблице:

Материальная точка Радиус – вектор Траектория Скорость ® ® ® ® Скоростная точка Вектор скорости Годограф Ускорение

В качестве простейшего примера найдем ускорения точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса r (Рис.1.4.а). Скорость V направлена по касательной к окружности, ее величина определяется выражением . Годоргафом будет окружность радиуса V (Рис.1.4.б).

Когда материальная точка М вращается по окружности радиуса r, соответствующая ей скоростная точка А вращается в том же направлении по окружности радиуса V, описывая эту окружность за то же время Т.

Положениям материальной точки на траектории М1, М2, М3, М4 соответствуют на годографе положения скоростной точки А1, А2, А3, А4 .

Ускорение а направлено по касательной к окружности – годографу и притом к центру О траектории вращающейся точки М. По аналогии с формулой , для величины ускорения можно написать

. (1.12)

а) б)

Рис. 1.4

(1.12) есть центростремительное ускорение. Ее можно записать в векторной форме

. (1.13)

Знак минус указывает на то, что направления векторов а и r взаимно противоположны, т.е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки

, (1.14)

где n – единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру О (см. рис.1.4а).

Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор скорости в виде V= Vt, где t– единичный вектор касательной к окружности.

Первый множитель V дает численную величину скорости, второй множитель t указывает ее направление. При равномерном вращении абсолютное значение скорости V остается неизменным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор t.

Дифференцированию подлежит только этот вектор, а потому . Сравнивая это выражение с (1.14), получим

. (1.15)

Формулу (1.15) можно использовать в случе произвольной гладкой кривой. Здесь необходимо ввести два новых понятия: величина 1/r и единичный вектор n.

Величина 1/r называется кривизной кривой, rрадиусом кривизны, а nединичным вектором главной нормали к кривой. При этом кривизна 1/r считается существенно положительной.

А потому единичный вектор n всегда направлен сторону вогнутости кривой.

Рассмотрим общий случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Запишем вектор скорости в виде V = Vt. Продифференцировав правую и левую часть по времени, получим

, (1.16)

или, с учетом формулы (1.15),

. (1.17)

Ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слагаемое в формуле (1.17)

(1.18)

есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным или тангенциальным ускорением. Второе слагаемое

(1.19)

есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутости траектории. Он называется нормальным ускорением. Таким образом, в общем случае ускорение аможно представить в виде геометрической суммы тангенциального и нормального ускорения:

. (1.20)

Тангенциальное ускорение меняет скорость только по величине, нормальное ускорение меняет ее только по направлению.

Модуль полного ускорения точки

. (1.21)

Рис. 1.5

Направления полного ускорения и его составляющих (аt, аn) для случая ускоренного движения приведены на рис. 1.5. При замедленном движении вектор аt имеет противоположноенаправление.

Характеристика движения материальной точки в зависимости

от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения

Движение
Прямолинейное равномерное
const Прямолинейное равнопеременное
const Равномерное по окружности
0 Равномерное криволинейное
const 0 Криволинейное равнопеременное

Табл. 1.1

Поступательное движение. Это такое движение тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. Например, вагон, движущийся по прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др.

При поступательном движении все точки тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы.

Таким образом, поступательное движение тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиуса – вектора r (t) любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент.

Контрольные вопросы

1. Может ли криволинейное движение быть равномерным?

2. Чему равно скалярное произведение скорости и ускорения в случае равномерного движения по окружности?

3. Что характерно для скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

4. В каких случаях модуль перемещения точки равен длине пути, пройденного точкой за тот же промежуток времени?

5. Как движется точка, если скорость этой точки все время ортогональна ее ускорению?

6. Какова траектория плоского движения точки, если ее радиальная скорость равна нулю?

Задачи

1. Можно ли утверждать, что точка движется без ускорения в случаях:

а) u = const; б) u= const?

2. Является ли движение точки обязательно прямолинейным в случаях:

а) u= const; б) a= const?

3. Точка движется равномерно по окружности. Начало ее радиус-вектора r совпадает с центром окружности. Отличны ли от нуля выражения dr/dt и dV/dt?

4. При каком движении материальной точки выполняются соотношения at = 0, an = const ¹ 0: а) при равномерном движении по окружности; б) при равномерном движении по винтовой линии; в) при равномерном прямолинейном движении; г) при равнопеременном движении по окружности?

1) а, б, в; 2) а, б; 3) г; 4) а; 5) а, б, г.

5. Применима ли для вычисления тангенциального ускорения формула at = u/t в случаях: а) u= 2t + 6; б) u = 3t2; в) u = 5t (u– в м/с; t – в с)?

6. Математический маятник совершает гармонические колебания. Отличны ли от нуля в крайней точке траектории маятника:

а) нормальное ускорение; б) тангенциальное ускорение?

7. Тело бросили вертикально с некоторой высоты: а) вверх;

б) вниз. Начальные скорости в обоих случаях одинаковы. Сравнить скорости в момент падения тела на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

8. Какой график скорости соответствует графику пути на рисунке?

9. Применима ли для вычисления углового ускорения формула e = w/t в случаях: а) w = 2t + 8; б) w = 9t; в) w = 6 (w – в рад/с, t – в с)?

10. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением j = 2p(6t – 3t2) (j – в рад, t – в с). Начало движения при t = 0. Сколько оборотов сделает тело до момента изменения направления вращения?

11. Стержень длиной l упирается верхним концом в стену, а нижним – в пол. Конец, упирающийся в стену, равномерно опускается вниз. Будет ли движение другого конца равномерным?

12. У подножия горы санкам сообщена некоторая скорость, в результате чего санки въезжают на гору и, достигнув точки А начинают скользить обратно. Как направлены нормальное и тангенциальное ускорения в точке А.

13. Тело скользит без трения по вогнутой поверхности. Как в наинизшей точке направлены нормальное и тангенциальное ускорения.

Источник: https://studopedia.ru/3_175994_skorost-i-uskorenie-pri-krivolineynom-dvizhenii.html

Прямолинейное и криволинейное движение

Произвольное криволинейное движение. Прямолинейное и криволинейное движение

Сразу хочу признаться и покаяться в своем неоправданно легкомысленном на протяжении многих лет отношении к уроку в 9-м математическом классе по теме «Прямолинейное и криволинейное движение» (про базовый уровень не говорю).

Ему предписывалась некая вводная роль к основному и достаточно сложному для девятиклассников материалу (надо сказать, что любой материал в школьной физике, связанный с векторами, идет трудно, начиная с седьмого класса) из § 19 [1] по описанию движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Наиболее распространенное в природе криволинейное неравномерное движение сводилось к совокупности более простых и менее распространенных движений: прямолинейному и по дугам окружностей разных радиусов.

И как-то скромно, без должного почтения и ударения, после приведённых необходимых примеров, проговаривалась фраза, выделенная курсивом в учебнике [1]: «если скорость тела и действующая на него сила направлены вдоль одной прямой, то тело движется прямолинейно, а если они направлены вдоль пересекающихся прямых, то тело движется криволинейно».

А зря! Такая «легкокасательная» скромность, тем более неоправданна потому, что в десятом классе [2], несмотря на систематическое и последовательное описание прямолинейного и криволинейного движения (по параболе и по окружности), никакого обобщения не предусмотрено, и вообще нигде даже не намекается на то, что ускорение, ответственное за изменение скорости по модулю, имеет в физической литературе название касательного или тангенциального ускорения. В одиннадцатом классе это естественным образом аукается при описании кинематики и динамики движения математического маятника. Авторы учебника [3] чётко и подробно рассматривают колебательный процесс, оставляя учителю объяснить учащимся, почему проекция силы тяжести и ускорения на касательную к траектории маятника имеет пресловутый индекс «τ» и никакой другой.

Подводя итог, можно сказать, что после урока по теме «Прямолинейное и криволинейное движение» в девятом классе, в учебниках старших классах не осуществляется больше попыток какого-либо системного обобщения по этому вопросу, по крайней мере, в тех учебниках, по которым работает большинство учителей.

Вернёмся к прямым линиям, вдоль которых могут быть направлены мгновенная скорость и действующая на тело сила (читай равнодействующая сила). Вывод в учебнике, выделенный курсивом не очевиден для детей и непрост.

Конечно, надо поэтапно, рассматривая сначала примеры прямолинейных и более изученных движений, а затем криволинейных и менее изученных, подвести учащихся к обобщающему выводу о направлениях прямых. И, думаю, что этот вывод необходимо обосновать, опираясь на второй закон Ньютона.

А сам вывод впоследствии можно использовать как критерий при описании различных видов наблюдаемых или возможных движений тела.

Итак, события на уроке развивались примерно так.

Сначала мы пытались ответить на вопрос, что такое прямолинейное движение и при каких условиях оно возможно. Выяснили, что при прямолинейном движении тело движется по прямой линий и вектор скорости не меняет своего направления. С условиями прямолинейного движения дело оказалось несколько сложнее.

Во-первых, дети сразу вспомнили закон инерции, а в выводе курсивом он был как-то не предусмотрен (стало быть, вывод придется дополнять)! Во-вторых, не учли, что сила (в скобках заметим, что и ускорение, создаваемое этой силой) может быть не только сонаправлена с движением, но и противонаправлена ему.

То есть скорость при прямолинейном движении не меняет своего направления, но по модулю может увеличиваться или уменьшаться.

После наблюдения за движением автомобиля по столу и шарика вертикально вверх и вниз мы записали второй закон Ньютона для всех опытов, сделали приведенные ниже чертежи, специально выделив линии, вдоль которых направлены силы, ускорения и скорости, сформулировали промежуточный вывод.

  Прямолинейно тело может двигаться либо по инерции, сохраняя при этом свою скорость, либо ускоренно (замедленно), если скорость тела в каждый момент времени и сила, действующая на него, направлены вдоль одной прямой в одну сторону (или вдоль одной прямой в противоположные стороны). При криволинейном движении траекторией тела является кривая линия и, следовательно, скорость должна менять свое направление.

Вспоминаем движение Луны вокруг Земли, делаем чертеж, отмечаем линии, вдоль которых направлены скорость и сила, и задаемся вопросом, а зачем вообще нужна сила тяготения? Понятно зачем, затем чтобы удержать Луну – получаю ответ.

И тут наступает многозначительная пауза.

А почему Луна не падает на Землю, ведь есть сила, должно быть и ускорение!? А факт таков, что скорость Луны по модулю не меняется (ну, почти не меняется) при наличии силы и ускорения, которое должно быть ? И вот тут нас ждало большое открытие! Оказывается, чтобы просто (!) повернуть уже движущееся тело, нужна сила. И это еще не все, сама сила, оставаясь неизменной по модулю, должна менять свое направление! Такое открытие надо пережить и закрепить (можно, для пущей важности, еще показать движение шарика на резинке).

Мы смотрим небольшой фильм со знакомым нам зеленым человечком в роли ковбоя [4]. Приведу некоторые картинки из фильма. Вид сверху: лошадь движется по окружности, удерживаемая канатом ковбоя. Скорость лошади направлена по касательной к

окружности. Если канат порвется, что и происходит в фильме, лошадь сходит с окружности и начинает двигаться прямолинейно.

В конце фильма приводится чертеж, где показана линия, вдоль которой направлена сила и линия, вдоль которой направлена скорость. Они перекрещиваются и образуют угол 90о, так же как в примере с Землей и Луной.

Анализ приведенных примеров позволяет сделать еще один промежуточный вывод. Тело движется по заданной окружности с постоянной по модулю скоростью, если на него действует постоянная по модулю сила.

Скорость и сила (и, конечно, ускорение) в каждый момент времени, направлены вдоль пересекающихся прямых, образующих между собой угол 90о.

Силу, всегда направленную к центру при движении тела по окружности, назовем центростремительной.

Сила создает центростремительное (или нормальное) ускорение, сонаправленное с силой. Таким образом, вводим понятие центростремительного ускорения ответственного за изменение скорости по направление.

Ещё один вид криволинейного движения это движение тела по параболе, хорошо знакомый нам с детства. Конечно, при описании свободного падения тела, брошенного горизонтально, мы говорили ранее, что на тело постоянно действует только одна сила тяжести.

Используя цифровой ресурс «Открытая физика» (5), мы детально анализировали, что происходит со скоростью тела и ее проекциями на оси X и Y.

Записывали уравнения для проекций скоростей и доказывали, что, действительно проекция скорости на ось X не меняется со временем, а вдоль оси Y скорость меняется равномерно. Тело участвует в двух движениях одновременно: ускоренном по оси Y и равномерном по оси X.

Но мы не затрагивали вопрос о линиях, вдоль которых направлены вектора скорости и силы, действующей на тело в каждый момент времени.

Если с этой позиции рассмотреть вопрос, то можно определенно сказать, что при движении по параболе скорость и сила в каждый момент времени, направлены вдоль пересекающихся прямых, причем они образуют угол меньший или равный 90о. И дело обстоит так, что направление и модуль самой силы

И дело обстоит так, что направление и модуль самой силы остается постоянен, но этот факт не мешает ей изменять и направление и модуль скорости! Вот. Это вызывает у учащихся некоторое недоумение.

Как же одна и та же сила меняет скорость и по модулю и по направлению?! После небольшой дискуссии предлагается «выделить» «часть силы» для изменения направления и «часть силы» для изменения модуля скорости.

Так появляются центростремительная (нормальная) и касательная (тангенциальная) составляющие силы и, соответственно, ускорения. Мы нарисовали пояснительный чертеж, и я подумала, ну наконец-то, самое тяжелое сделано.

Так как центростремительное и касательное ускорение составляют между собой прямой угол, мы воспользовались теоремой Пифагора и получили формулу для полного ускорения и попытались ее применить для описания прямолинейного и криволинейного движения.

Мы попробовали применить выводы и формулу, полученную на уроке к описанию некоторых известных нам движений. Приведенная ниже таблица, может дополняться впоследствии и использоваться при систематизации материала.

В конечном итоге, параллельные или перекрещивающиеся прямые, о которых говорилось в § 19 [1], вдоль которых направлены скорости и силы помогли нам понять механизм изменения (или неизменности) скорости тела.

Литература

  1. Перышкин А.В., Гутник Е.М.. Физика. 9 класс.: учеб. для общеобразоват. учреждений.12-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2007. – 255с.
  2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика. 10 класс.: учеб. для общеобразоват. учреждений.16-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 366с.
  3. . Мякишев Г.Я, Буховцев Б.Б., Чаругин В.М.. Физика. 11 класс.: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. под ред. В.И. Николаева, Н.А. Парфентьевой. – 18-е изд. М.: Просвещение, 2009. – 399с.
  4. Физика, 7–11 классы. [Электронный ресурс]. ООО Физикон, 2007.
  5. Открытая физика. Ч. I. [Электронный ресурс]. ООО Физикон,1996.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/pryamolinejnoe_i_krivolinejnoe_dvizhenie_122942.html

Прямолинейное и криволинейное движение. РД тела по окружности

Произвольное криволинейное движение. Прямолинейное и криволинейное движение

На одном из прошлых уроков мы с вами говорили о том, чтовсякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейногодвижения до тех пор, пока на него не подействуют силы. То есть действие силы необходимоне для того, чтобы сохранить скорость тела постоянной, ачтобы изменить её. При этом действие силы может изменить как модуль скорости,так и её направление.

На экране вы видите шарик, закреплённый на столе с помощьюрезинового шнура. Если мы переместим шарик на некоторое расстояние, то шнуррастянется и в нём возникнут силы упругости. Отпустим шарик. Под действием силупругости он придёт в ускоренное движение и будет двигаться к своемупервоначальному положению.

При этом скорость шарика в любой точке траекториисовпадает с направлением действующей на него силы, и, соответственно, снаправлением вектора ускорения.

Следовательно, при таком движении меняетсятолько численное значение скорости, а направление её вектора остаётсянеизменным, и шарик движется прямолинейно.

Повторим эксперимент. Но теперь мы не будем перемещать шарик,а толкнём его, придав некоторую начальную скорость, направленнуюперпендикулярно шнуру.

Если бы на шарик не действовали никакие силы, то, согласнозакону инерции, он сохранял бы модуль и направление полученной скорости. Но,двигаясь, наш шарик удаляется от точки крепления шнура и слегка растягивает самшнур.

В результате в шнуре возникает сила упругости, пытающаяся вернуть его кпервоначальной длине и одновременно с этим приблизить шарик к точке крепленияшнура. Таким образом, в результате действия силы направление скорости шарика вкаждый момент времени изменяется и шарик движется по криволинейной траектории.

При этом в любой точке траектории, скорость направлена по касательной, а сила —к точке крепления шнура.

Рассмотренные примеры показывают, что действие на тело силыможет привести к разным результатам в зависимости от направления векторовскорости и силы: если скорость тела и действующая на него сила направленывдоль одной прямой, то тело движется прямолинейно, а если они направлены вдольпересекающихся прямых, то тело движется криволинейно.

Криволинейное движение встречается гораздо чащепрямолинейного. С детства мы наблюдаем различные виды криволинейного движения,например, вращательное движение. Кто из нас не катался на карусели или ненаблюдал за вращением волчка. Во вращательном движении участвуют и космическиетела: планеты движутся вокруг Солнца, а спутники планет — вокруг планет.

Вообще, существует бесчисленное множество различныхкриволинейных траекторий. Однако любая кривая может быть представлена в видесовокупностей дуг окружностей разных радиусов.

Поэтому чаще всего изучениекриволинейного движения тела сводится к изучению его движения по окружности. Мыбудем изучать самый простой вид такого движения — движение тела по окружности спостоянной по модулю скоростью.

Таким телом, вращающимся с постоянной скоростьювокруг неподвижной оси, могут быть точильный круг, колесо автомобиля, винтсамолёта и так далее.

Мгновенная скорость движения тела в любой точкекриволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.В этом можно убедиться, если прижать к вращающемуся точильному камню конецдетали.

Теперь рассмотрим материальную точку, движущуюся поокружности радиусом R.Будем задавать положение этой точки с помощью радиус-вектора, проведённого изцентра окружности к материальной точке.

При движении точки по окружности её радиус-вектор непрерывноповорачивается — совершает вращательное движение. Например, если за времяΔtдвижущаяся точка переместится по окружности из точки А в точку B, то за это время еёрадиус-вектор повернётся на угол Δφ,который называют углом поворота.

В СИ угол поворота измеряется в радианах.

Угол в один радиан — это центральный угол, длина дугикоторого равна радиусу окружности. Значение любого угла в радианах равно отношениюдлины дуги к радиусу окружности.

Давайте посмотрим на стробоскопическую фотографию движениятела по окружности. На ней хорошо видно, что вращающееся тело за равныепромежутки времени описывает равные дуги, (или поворачивается на одинаковыйугол).

Следовательно, при таком движении модуль мгновенной скороститела не меняется с течением времени. Такое вращение называется равномерным.Но будьте внимательны.

При равномерном вращение не меняется только модульскорости, но меняется её направление от точки к точке, то естьускорение тела не равно нулю.

 В случае движения тела по окружности мгновеннуюскорость мы будем называть линейной скоростью тела.

Быстроту вращательного движения характеризуют угловойскоростью. Её обозначают буквой ω.При равномерном вращении угловая скорость определяется, как величина, численноравная углу поворота радиус-вектора за единицу времени:

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду.

Движение, при котором тело движется по окружности спостоянной угловой скоростью, называют равномерным движением по окружности.

— А связаны ли между собой линейная и угловая скорости?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте подставим выражениедля угла поворота в формулу для угловой скорости:

Также для характеристики вращательного движения вводятсяспециальные величины — частота и период обращения.

Частотой обращения называется величина, численно равнаячислу оборотов, совершаемых телом за единицу времени:

Периодом обращения называется промежуток времени, втечение которого тело совершает один полный оборот по окружности.

Сравнивая формулы для расчёта частоты и периода обращения,можно заметить, что они взаимно обратные.

https://www.youtube.com/watch?v=utIZ9HbEMU4\u0026list=PLxGo9dxQkqWDNz1f3f22IrLNb5NHrwU9K

Угловая скорость, периода и частота обращения связаны междусобой формулами:

Ранее мы с вами упомянули, что при равномерном вращении телапо окружности модуль линейной скорости не меняется, но меняется её направление.То есть движение по окружности всегда происходит с ускорением. Конечно у вас можетвозникнуть вопрос: как определить модуль и направление этого ускорения?

Итак, пусть материальная точка, двигаясь по окружности спостоянной по модулю скоростью, за некоторый промежуток времени перемещается изположения А в положение В. Скорость материальной точки в этихположениях направлена по касательной к окружности в этих точках.

Полученная формула определяет модуль ускорения приравномерном движении тела по окружности.

— А как направлено это ускорение?

Его направление совпадает с тем направлением, которое приметвектор изменения скорости, при Δt → 0.Из рисунка видно, что чем меньше угол поворота, тем ближе направление вектораизменения скорости к направлению на центр окружности. Значит, ускорениенаправлено по радиусу к центру окружности. По этой причине его называют центростремительным.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение всегда сонаправлено с силой, в результате действия которой оновозникает. Это справедливо и для центростремительного ускорения. Поэтому, сила,под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулюскоростью, в каждой точке направлена по радиусу окружности к её центру.

Закрепления материала.

Источник: https://videouroki.net/video/17-pryamolinejnoe-i-krivolinejnoe-dvizhenie-rd-tela-po-okruzhnosti.html

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. урок. Физика 9 Класс

Произвольное криволинейное движение. Прямолинейное и криволинейное движение

На предыдущем уроке мы рассмотрели вопросы, связанные с законом всемирного тяготения. Тема сегодняшнего урока тесно связана с этим законом, мы обратимся к равномерному движению тела по окружности.

Ранее мы говорили, что движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Движение и направление движения характеризуются в том числе и скоростью. Изменение скорости и сам вид движения связаны с действием силы. Если на тело действует сила, то тело изменяет свою скорость.

Если сила направлена параллельно движению тела, то такое движение будет прямолинейным (рис. 1).

Рис. 1. Прямолинейное движение

Криволинейным будет такое движение, когда скорость тела и сила, приложенная к этому телу, направлены друг относительно друга под некоторым углом (рис. 2). В этом случае скорость будет изменять свое направление.

Рис. 2. Криволинейное движение

Итак, при прямолинейном движении вектор скорости направлен в ту же сторону, что и сила, приложенная к телу. А криволинейным движением является такое движение, когда вектор скорости и сила, приложенная к телу, расположены под некоторым углом друг к другу.

Рассмотрим частный случай криволинейного движения, когда тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Когда тело движется по окружности с постоянной скоростью, то меняется только направление скорости. По модулю она остается постоянной, а направление скорости изменяется.

Такое изменение скорости приводит к наличию у тела ускорения, которое называется центростремительным.

Рис. 6. Движение по криволинейной траектории

Если траектория движения тела является кривой, то ее можно представить как совокупность движений по дугам окружностей, как это изображено на рис. 6.

Рис. 7. Направление скорости при криволинейном движении

На рис. 7 показано, как изменяется направление вектора скорости. Скорость при таком движении направлена по касательной к окружности, по дуге которой движется тело. Таким образом, ее направление непрерывно меняется. Даже если скорость по модулю остается величиной постоянной, изменение скорости приводит к появлению ускорения:

В данном случае ускорение будет направлено к центру окружности. Поэтому оно называется центростремительным.

Почему центростремительное ускорение направлено к центру?

Вспомним, что если тело движется по криволинейной траектории, то его скорость направлена по касательной. Скорость является векторной величиной. У вектора есть численное значение и направление. Скорость по мере движения тела непрерывно меняет свое направление. То есть разность скоростей в различные моменты времени не будет равна нулю (), в отличие от прямолинейного равномерного движения.

Итак, у нас есть изменение скорости  за какой-то промежуток времени . Отношение  к  – это ускорение. Мы приходим к выводу, что, даже если скорость не меняется по модулю, у тела, совершающего равномерное движение по окружности, есть ускорение.

https://www.youtube.com/watch?v=TesGpJ6cq0Y\u0026list=PLxGo9dxQkqWDNz1f3f22IrLNb5NHrwU9K

Куда же направлено данное ускорение? Рассмотрим рис. 3. Некоторое тело движется криволинейно (по дуге). Скорость тела в точках 1 и 2 направлена по касательной. Тело движется равномерно, то есть модули скоростей равны: , но направления скоростей не совпадают.

Рис. 3. Движение тела по окружности

Вычтем из  скорость  и получим вектор . Для этого необходимо соединить начала обоих векторов. Параллельно перенесем вектор в начало вектора . Достраиваем до треугольника. Третья сторона треугольника будет вектором разности скоростей (рис. 4).

Рис. 4. Вектор разности скоростей

Вектор  направлен в сторону окружности.

Рассмотрим треугольник, образованный векторами скоростей и вектором разности (рис. 5).

Рис. 5. Треугольник, образованный векторами скоростей

Данный треугольник является равнобедренным (модули скоростей равны). Значит, углы при основании равны. Запишем равенство для суммы углов треугольника:

Выясним, куда направлено ускорение в данной точке траектории. Для этого начнем приближать точку 2 к точке 1. При таком неограниченном прилежании угол  будет стремиться к 0, а угол  – к .

Угол между вектором изменения скорости и вектором самой скорости составляет . Скорость направлена по касательной, а вектор изменения скорости направлен к центру окружности. Значит, ускорение тоже направлено к центру окружности  .

Именно поэтому данное ускорение носит название центростремительное.

Рассчитать центростремительное ускорение можно по следующей формуле: .

Как найти центростремительное ускорение?

Рассмотрим траекторию, по которой движется тело. В данном случае это дуга окружности (рис. 8).

Рис. 8. Движение тела по окружности

На рисунке представлены два треугольника: треугольник, образованный скоростями, и треугольник, образованный радиусами и вектором перемещения.

Если точки 1 и 2 очень близки, то вектор перемещения будет совпадать с вектором пути. Оба треугольника являются равнобедренными с одинаковыми углами  при вершине. Таким образом, треугольники подобны.

Это значит, что соответствующие стороны треугольников относятся одинаково:

Перемещение равно произведению скорости на время:  . Подставив данную формулу, можно получить следующее выражение для центростремительного ускорения:

Угловая скорость обозначается греческой буквой омега (ω), она говорит о том, на какой угол поворачивается тело за единицу времени (рис. 9). Это величина дуги в градусной мере, пройденной телом за некоторое время.

Рис. 9. Угловая скорость

Обратим внимание, что если твердое тело вращается, то угловая скорость для любых точек на этом теле будет величиной постоянной. Ближе точка располагается к центру вращения или дальше – это не важно, т. е. от радиуса не зависит.

Единицей измерения в этом случае будет либо градус в секунду (), либо радиан в секунду (). Часто слово «радиан» не пишут, а пишут просто . Для примера найдем, чему равна угловая скорость Земли. Земля делает полный поворот на  за  ч, и в этом случае можно говорить о том, что угловая скорость равна:

Также обратите внимание на взаимосвязь угловой и линейной скоростей:

Линейная скорость прямо пропорциональна радиусу. Чем больше радиус, тем больше линейная скорость. Тем самым, удаляясь от центра вращения, мы увеличиваем свою линейную скорость.

Необходимо отметить, что движение по окружности с постоянной скоростью – это частный случай движения. Однако движение по окружности может быть и неравномерным.

Скорость может изменяться не только по направлению и оставаться одинаковой по модулю, но и меняться по своему значению, т. е., кроме изменения направления, существует еще изменение модуля скорости.

В этом случае мы говорим о так называемом ускоренном движении по окружности.

Что такое радиан?

Существует две единицы измерения углов: градусы и радианы. В физике, как правило, радианная мера угла является основной.

Построим центральный угол , который опирается на дугу длиной .

Рис. 10. Центральный угол

Очевидно, что при увеличении угла будет увеличиваться и дуга. Построим такой угол , для которого длина дуги будет в точности равна радиусу. Тогда принято говорить, что угол . 1 радиан – это такой угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу.

Как между собой связаны градусная и радианная меры угла? Из определения радианной меры угла можно записать выражение:

Длина всей окружности вычисляется по формуле:

Центральный угол равен , если дуга равна длине всей окружности.

Следовательно:

Тогда 1 радиан равен:

С помощью радианной меры угла легко работать с кинематическими характеристиками вращательного и колебательного движения.

Например, угловая скорость:

Важно помнить алгоритм перехода от градусной меры к радианной:

Список литературы

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)
  2. Интернет-портал «physbook.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «vip8082p.vip8081p.beget.tech» (Источник)
  4. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)

Домашнее задание

  1. Определите центростремительное ускорение велосипедиста, движущегося по закруглению радиусом  25 м со скоростью 30 км/ч? Как направлено центростремительное ускорение?
  2. Колесо делает один полный оборот за 2 с. Определите, какую скорость имеет точка на ободе, если радиус колеса  равен 50 см?
  3. С какой скоростью должен пройти автомобиль середину выпуклого моста (радиус моста 20 м), чтоб его центростремительное ускорение было на  меньше, чем ускорение свободного падения?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/zakony-vzaimodejstviya-i-dvizheniya-tel/pryamolineynoe-i-krivolineynoe-dvizhenie-dvizhenie-tela-po-okruzhnosti-s-postoyannoy-po-modulyu-skorostyu?chapter_id=108

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.